Дают.Если чётко проговариваете, что летите туда и тем перевозчиком, кому не нужны титры.Остальное- это чистый маркетинг клиники.Огромное желание заработать на услуге, которая вам не требуется.
Мы летали РедВингс, Победа , Аэрофлот и не помню ещё с кем.На сколько я гуглила, при покупке билетов, ни на кого из наших не наткнулась что б требовали.В условиях перевозчика читайте, что они хотят при перевозке животного.