Возможно ли прилететь в Бангкок на несколько дней с собакой, получить все бумажки о приезде и потом улететь в течение недели во Вьетнам без оформления новых? Или надо будет новые какие-то бумаги/справки делать?

Надо. Документы на вывоз.

А если прилетаешь и 6 часов не выходишь из аэропорта в город, тоже надо или уже нет?

Тогда нужен транзит пермит. Это если вы проходите паспортный контроль и улетаете опять через регистрацию.
Если вы, к примеру, летите Москва-Бангкок-Хошимин.
То вы международный сертификат здоровья делаете в Москве на весь маршрут.
Прилетев в Бангкок, заходите в ветконтроль и получаете транзит пермит. Летите дальше. Либо этот транзит пермит можно оформить заранее, выслав документы в ветконтроль Суварнабхуми.

а если лечу без повторной регистрации, то ничего не нужно?

Вы имеете ввиду транзит? То есть не выходите из зоны "дьюти фри" - транзитной зоны? Тогда не нужно.

Животное выдержит такой перелёт?

Я не из Москвы полечу и пока просто варианты рассматриваю