Забирать его на стыковке чаще всего не обязательно. Если рейс с пересадкой, то лучше брать билеты на одну авиакомпанию, так как если у вас разные авиакомпании, то ни одна из них не несёт ответственность за ваше животное
Прежде, чем покупать билеты - звоните в авиакомпании и задавайте все вопросы по выбранному рейсу, они подскажут точные условия, нюансы бывают от самолёта к самолёту даже