Olga
Уточните, пожалуйста, я правильно понимаю что если мои дети зарегистрированы в московской области, …
Да, только Вам нужно сначала заказать через Госуслуги за 250 руб повторный документ (в Вашем случае свидетельство о рождении) в удобном для Вас московском МФЦ, который делается в день обращения прямо при Вас, а на него уже потом ставить в этом же МФЦ апостиль.
На документ из ЗАГСа, выданный в Мос.области, апостиль можно поставить только на Рублевском шоссе в областном управлении ЗАГС по Мос.области