Скажите, пожалуйста, депозит при аренде - хранится на специальным счету? или просто отдается /передается владельцу?

В Испании нет специальных счетов для хранения депозитов за квартиру - приходится доверять квартиродателю.

По идее арендодатель должен снять ячейку и там хранить депозит,чтобы он его не потратил и вернул

Тут нет ячеек. Только клиентам некоторых банков и очередь несколько лет

Не правда, в каждой провинции есть свое законодательство которое регулирует вопрос депозитов за аренду жилья.

Ключевые слова для поиска registro fianza de alquiler.

В цифровых регистрах можно посмотреть зарегистрировал ли владелец внесенный депозит. За несоблюдение владелец может влететь на штрафы.

Depositar la fianza
El arrendador tiene la obligación de depositar la fianza en el organismo competente. Estas son reguladas por las comunidades autónomas, por lo tanto, en función del lugar en el que se encuentre el inmueble, podrá depositarse en un sitio u otro.

https://rentagarantizada.es/blog/que-establece-la-ley-de-arrendamientos-urbanos-sobre-la-fianza-en-el-alquiler

Другой вопрос что многие владельцы недвижимости игнорируют данные требования, особенно в отношении неосведомленных иностранцев, и практически присваивают себе депозит.

Формально, можно настучать на владельца.