Когда ездили ещё в мирное время через Польшу, то 100% всё смотрели и чип считывали и всё сверяли. Наверное зависит от пограничников, через которых будете в Шенген въезжать. Это Венгры?
Они 20 дней как в Шенгене,вряд ли здесь много практики на эту тему )) Но вам нужно евросертификат, в РФ он оформляется на российской ветеринарной таможне на основании справки из государственной ветеринарки. А в вашем случае где вы его будете оформлять?