Вот я сам недавно так летел, через Фьюмичино. От аэропорта до центра города около часа + время чтобы дождаться. Идёт электричка (с пересадкой), экспресс за 12 евро или несколько автобусов 8-10 евро, у автобуса билеты на еврик дороже, чем онлайн, но на ближайший рейс жадные итальяшки онлайн не продают. Последние электрички обратно в районе 9 вечера, автобусы можно и ночью найти, я возвращался в 23 часа.
Камеры хранения в аэропорту я не нашёл, на вокзале Термини можно оставить вещи за 10 евро, но работает камера хранения с 7 до 21.
Там же с обратной стороны вокзала есть хороший фудкорт, где можно относительно недорого покушать.
Ну и не забывайте, что Рим город на холмах, много ходить по нему нужно иметь крепкие ноги, проще передвигаться между интересными объектами на метро ))