При выезде из ЕС смотрят только паспорт с прививками и вписанным номером чипа, ну и часто, хотя не всегда, просят просканировать собаку и показать тот самый номер чипа
Если хотите перестраховаться, то в любой клинике можете попросить на листочке написать вам в сводной форме на английском, что ваш зверь здоров для путешествий и поставить печать клиники, но это больше перестраховка, 99.9% что вам оно не понадобится