То есть, можно будет через московский отдел консульства?

В данный момент податься в рф на учебную визу с последующим ВНЖ - можно только, если вы будете получать стипендию в Словакии.
В другом случае если у вас нет ВНЖ другой страны , то вы можете попросить у полиции Словакии дать вам исключение и податься по исключению в страны, которые без виз для РФ и в которых есть консульство Словакии.
Можно и в страны где нужна виза, однако вам понадобится исключение + шенген виза, чтобы приехать и податься в условной Франции.

Если вы из Москвы, то только этот вариант. Или по территориальному исключению. Но это скорее исключение, извините за каламбур.😁

А если есть внж Сербии и шенген то можно подаваться на студенческую визу уже в Словакии?

в сербии подача сразу на внж если не изменяет память