Нести никуда не надо. Формально нужно носить ее с собой с паспортом, но не слышал ни разу, чтобы ее спрашивали на улице. Сфотографируйте на телефон и оставьте дома. Могут спросить на выезде из Сербии, лучше с собой иметь в аэропорте
Если будете подавать документы на ВНЖ, то белый картон пригодится)). Но вы к тому моменту уже, скорее всего, Новый получите, тк получать его нужно всякий раз после визарана (каждые 30 дней)))