Подскажите пожалуйста, возможно ли сделать российский загранпаспорт в Сербии?

Через консульство вроде снова можно... Но очередь большая я так понимаю

Через консульство при наличии ВНЖ Сербии

Самое противное - сделать запись в посольство, ибо слотов свободных маловато.
Нужны копии обоих паспортов + показать оригиналы, заполнить форму с сайта и распечатать (но не подписывать!), взять НАЛИЧКУ (карты не принимают). Вроде все, но если что - на сайте у них список есть, ибо для детей, например, список другой+при смене фамилии нужно свидетельство о браке, например.
На месте вызывают к окошку. Повторяете, что вам нужно, отдаете доки. Все проверят и заполнят еще одну форму+дадут бумажки подписать+сфотают. Ждете, оплачиваете и следите за готовностью. Как только будет готов - надо прийти еще раз (я записывалась на получение паспорта)

А без загранпаспорта ведь не попасть в страну, вообще никак?

На всякий случай уточню, что, если у вас гражданство РФ, то никак. По внутренним документам (удостоверениям личности) могут въехать граждане ЕС и некоторых других стран.