Некоторые страны при записи, например австрийцы, просят прислать им на email скан со страницей с ВНЖ, без него не запишут. У венгров и итальянцев, кажется не требуется вводить номер ВНЖ при записи, так что теоретически к ним можно записаться заранее. Другой вопрос, что не все будут рассматривать заявление прям со свежим ВНЖ, опять же зависит от страны. Лучше исходите из того, куда конкретно хотите и узнавайте детали по тем странам.