Но свидетельство же не нужно иметь с собой, в случае вылета по заграну, как это не выпускают? Паспорт в наличии, свидетельства нет с собой, как это могут не выпустить? На каком основании?

Нужно все документы иметь на руках, в текущей ситуации. Паспорта и свидетельства (печати) это мвд, граница это фсб. Эти ведомства никак не связаны, и каждый делает что хочет. Фсб (погранслужба) может ограничить выезд на месте обосновав это чем угодно. Нет печати, документ недействителен, значит паспорт не должны были выдавать. Примерно такая логика, но здравого смысла не надо искать в действиях этих товарищей

не всегда могут быть основания. иногда вас могут просто задержать минут на 20, без причин. придется ждать и смотреть как все идут на регистрацию, а вас не хотят пускать. такая себе ситуация. поэтому лучше иметь максимально готовые документы чтобы не было повода.