Я поймала сегодня био, ждала полгода
Мне помогло заранее ввести капчу в трех разных гаджетах и потом в районе 9-9.05 уже нажать на саму кнопку "записаться"
Оно постепенно прогрузилось и выдало кучу окошек
Действительно не стоит брать прямо первую дату, лучше в календаре выбрать подальше и время не самое первое, иначе будет error (значит кто-то забрал уже это время)

вы одновременно во всех браузерах нажали записаться, или в каждом по очереди?

Да, одновременно
И мне окна выдало во всех трёх) потом в каждом выбрала разную дату, просто на всякий случай
Потом в одном получила окна на 21 число, только в этом окне выбрала время и записалась, и все получилось
В остальных браузерах тоже все нормально сработало, открылись окна на другие даты и там тоже можно было записаться

Но нажали на запись 21, и дождались подтверждения, а в других окнах не нажимали запись одновременно? пытаюсь понять, могут ли запросы одновременные вызвать error или нет. Или лучше по очереди кликать в случае неудачи с первой попытки.

Да, именно так
Насколько я поняла, error выдается, когда несколько запросов на одно время и оно уходит раньше, чем прогрузилось ваше окно

я в двух браузерах сидела и там и там открылся календарь, я выбирала в одном окне , если ошибка, то сразу в другом и так по кругу , получилось записаться