Интересно, а если податься где-то в ЕС, но на момент изготовления паспорта закончится Шенген, можно попросить его переслать в консульство в другой, безвизовой, стране? Или как быть вообще в этой ситуации?

Получить паспорт в консульстве можно только лично в руки.

Вопрос имеет два пути:
а) добраться самостоятельно туда, где подавались документы;
б) изначально подаваться в стране, где возможна доставка готового паспорта почтой внутри страны, + иметь "пересыльщика" документа там.

Стран с почтовой доставкой около 40 на весь мир, список можно найти в регламенте МИД.

Ищите сами в старой группе, переслать не могу (медленный режим). Ключевое слово - Камерун.

Так это не исключает получения лично в руки. Вопрос в том, может ли консульство переправить паспорт в консульство России в другой стране. Ну и в целом как разруливаются такие ситуации.

Насколько я знаю, нужно отснять у конкретного консульства. Потому что некоторые пересылают, а не которые нет. Я слышала такую информацию, по крайней мере

В описанной ситуации "а" невозможно. В случае "б" паспорт могут отправить даже на другое имя?

Список стран нашёл сейчас в Консультанте.
"ПЕРЕЧЕНЬ
ГОСУДАРСТВ, В КОТОРЫХ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ СТАТЬИ 10.1 ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАКОНА ОТ 15 АВГУСТА 1996 Г. N 114-ФЗ
"О ПОРЯДКЕ ВЫЕЗДА ИЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ И ВЪЕЗДА В РОССИЙСКУЮ ФЕДЕРАЦИЮ" ВОЗМОЖНО НАПРАВЛЕНИЕ
ПАСПОРТА ПОЧТОВОЙ СВЯЗЬЮ"

Это вопрос к почтовому ящику получателя, а не к консульству. Готов ли он на другое имя почтовые отправления принимать.

Если отправка только на имя заявителя, то вопрос скорее в том, какая форма доставки, требуется ли при получении сверка получателя. Так-то получатель готов, конечно, принять, если ему отдадут.
На практике не пользовался тут этим никто?