А вот чтобы не прервался непрерывный срок ВНЖ - вот у меня наступает "3 месяца до конца ВНЖ", когда я могу подать свои документы и документы жены и детей на продление. Вот я сходил на euprava и в тот день, когда я подал там документы, можно расслабиться, это будет считаться непрерывностью? Или расслабляться рано и если мой первый ВНЖ истекает 14 февраля, а второй дадут с 15-го февраля - это разрыв в день и прощай надежды на ПМЖ?

Это не разрыв. Скорее всего, так и дадут

С момента подачи документов пребывание считается легальным. При этом на практике, даже если документы рассмотрели с опозданием, продляют "задним числом", чтобы внж был непрерывным.