Подскажите, надо ли отцу писать какую-то доверенность, чтобы мать в рф могла вписать/выписать ребенка, пересекать с ним границу?

Для того, чтобы зарегистрировать ребенка по месту жительства/ снять с регистрации нужно согласие второго родителя.
Пересекать границы ребенок, гражданин РФ, может с одним родителем без доверенностей/согласий. Главное, чтобы было свидетельсвто о рождении ребенка с собой.
А вот при получения виз нужно смотреть правила страны, которая даёт визу. Чаще всего для шенгенский виз нужно согласие второго родителя.

Интересно заменяет ли согласие родителя доверенность, где родитель доверяет представлять его в мфц и всех прочих учреждениях?

Насколько я понимаю, нет. Но иногда доверенности работают неожиданным образом, и прокатывает 😂

Ну какую то довернность надо показать, иначе что такое согласие? Вот думаю какую.

Просто все что касается ребенка, называется "согласие" у нотариусов.
Согласие на выезд ребенка, согласие на регистрацию по месту жительства. Это с чем я сталкивалась. Хотя раньше я помню, что на свою маму делала доверенность, что она может выезжать с моим сыном и представлять его интересы как в РФ, так и в других странах. Но потом нотариусы стали делать согласие.