Не подскажете, если у меня партнерская виза (не с гражданином ЕС), но мы расстались, и мне надо будет съехать на другую квартиру, можно ли мне на ней не регистрироваться, чтобы не потерять внж? Это могут как-то вычислить и какие будут последствия?

а партнер-то согласен оставить Вашу регистрацию у себя? Пока Вы прописаны по одному адресу, и он не заявил в IND о прекращении отношений, ВНЖ Вы не потеряете. Но тут Вам проще оценить надежность товарища.

Но стоит искать другое основание для ВНЖ, думается

Да, он согласен оставить меня зарегистрированной по старому адресу, пока я своим независимым ВНЖ не обзаведусь.
Я просто боюсь, что когда налоговая будет мои транзакции проверять, увидит, что я за аренду другого жилья плачу и будут вопросы. Или через лендлорда как-то выяснится (я же должна ему налоги какие-то платить, а раз я не меняю регистрацию, то буду платить их на старой квартире)

Налоговая и иммиграционка — две разные огранизации. В налоговой не будут анализировать ваши транзакции, у них и без этого дел много.
А вот с ленлордом может быть проблема, да, в некоторых муниципалитетах запрещено квартиру без регистрации держать. Возможно, вам стоит искать квартиры без возможности регистрации как раз или просто об этом сообщить сразу при поиске.