У вас должен быть либо паспорт таможенного союза. Либо сертификат, позволяющий выезд. Не спрашивают-это не всегда. Достаточно нарваться на одного пограничника в плохом настроение или просто дотошно выполняющего обязанности. Животное должно быть вакцинировано не позднее чем за 20 дней до выезда из рф( список прививок для каждой страны может отличаться. Например у Узбекистана требования жестче) и ему должен быть проведен осмотр, о чем в ветеринарном паспорте должна стоять печать. Если вы сделаете паспорт таможенного союза, то сертификат вам отдельно брать будет больше ненужно. Сделать его можно в любой государственной Вет.клинике. Стоит около 900 р.
Если этот паспорт не сделать, т так же: осмотр, они отправляют данные в ветнадзор, и там вы в течении этого же или следующего дня получаете сертификат, который действует 5 дней. Удобнее, особенно если периодически туда-обратно будете ездить, сделать паспорт таможенного союза.