Процесс очень простой, заходите на сайт-агрегатор (например, homes.co.jp), выбираете нужный город и район, потолок цены и смотрите. Если нет гаранта, то еще желательно выбрать 保証人不要.
Интересные варианты скидываете риелтору (если такой имеется), либо сами звоните. На сайтах не указывают, сдают ли эти квартиры иностранцам, только звонить и конкретно спрашивать.