если у вас рабочая виза, то для того, чтобы она осталась валидна, вы должны работать на соответствующей статусу работе
в случае увольнения период по умолчанию, который дается на поиск новой работы — 3 месяца
требований по пребыванию в стране вроде бы нет
по поводу регистрации у вас есть обязанность уведомить мэрию в течение 2 недель, если вы больше не живете по адресу регистрации, т.е. выписаться однозначно нужно
если вы расторгаете договор аренды и выезжаете насовсем из текущего жилья, то:
выписатья в мэрии в течение 2 недель, вписаться в новой в течение 2 недель после возвращения
(на практике лучше не тянуть конечно и с тем, и с тем)
если вы не расторгаете договор и жилье на эти 3 месяца остается за вами, можно не выписываться вообще, но в этом случае скорее всего придется платить все социальные платежи по полной