По идее, должны.
У меня в Нагое кокумин была оформлена списанием с карты и списывали в конце месяца за следующий. Я в конце марта из Нагои уехала и приехала в Токио, оформила на 2 дня местный кокумин. И мне нагойская страховка три письма прислала, мол, заберите у нас свои деньги за март