вам бы в школе уточнить все детали, что конкретно предлагается школой в качестве продленки и как конкретно в вашем городе происходит финансирование (обед, кружки, досуг, домашка и тд). бывает что это все через муниципалитет частично финансируется, бывает что полностью через ДЦ.
кроме этого погуглите и почитайте про Antrag auf Leistungen für Bildung und Teilhabe, он вам скорее всего понадобится