Если закончится Ваш срок безвиза, надо будет выезжать из страны.
Если нарушите срок безвиза и попробуете въехать обратно в Германию - на границе Вам сообщат и о штрафе, и о нарушении срока пребывания.
Вы можете податься сейчас, можете через месяц - это решать Вам. С момента подачи документов Ваше пребывание меняется уже с простого статуса "турист с безвизом" на "проситель ....".
Соответственно, если Вы уже приняли решение оставаться, документы готовы, сами готовы - хоть в понедельник подавайтесь.