Очень много видел украинцев в Берлине, Кёлне, Гамбурге. Это что, все те, кто уехал в первую неделю войны и успел получить жилье в нормальном месте?

Многие из них работают на работе и живут за свой счёт, пожилых украинцев или украинцев без денег в больших городах не очень много и большинство из них живет в лагерях беженцев, что совсем не комфортные условия :(

Без понятия. Я знаю, что одних украинцев беженцев прибыло за все это время 1,2 миллиона. Есть ещё беженцы из других стран и релоканты. Ну и немцы как бы тоже есть в Германии
И все хотят жить в крупных городах, где есть работа, но не хватает жилья.
Вот только работающие могут себе позволить все равно найти в дорогом сегменте хотя бы. А за неработающих платит государство ( то есть те же работающие). Поэтому есть бюджет земель и городов, и он не резиновый.

Нет. Это те, что получили и получают распределение в этих городах. Очень многие живут в лагерях и в общежитиях для беженцев.
Если мама не сможет себя обслуживать, то её переведут в местный дом престарелых. Самый дешовый. Ничего хорошего там нет.
Позаботьтесь о маме сами. Это же ваша мама, а не немцев.
Кстати, отсутствие жилья в Украине не будет основанием для того, чтобы мама осталась в Германии. Отправлены домой будут все, кто не изменит параграф 24 на внж.
Украинское государство обязано будет само позаботиться о своих гражданах после войны . Даже если мама уже окажется в доме престарелых, то и это не основание для того, чтобы ей остаться в Германии. Тем более при наличии детей самостоятельных.