Всем добрый вечер. Подскажите, пожалуйста, можно ли в каком-нибудь банке открыть накопительный/сберегательный счёт в $ и положить наличные доллары на счёт?

Добрый.

Если бы у меня было уже ВНЖ, я бы сделал копилку в Interactive Brokers. Купил бы, например , Microsoft, который всегда растёт, и забыл бы на несколько месяцев или лет. Если больше года держать, то вроде бы даже налога с прибыли не должно быть, если я правильно понимаю, но может быть, для не граждан всё же будет.

Это не рекомендация, это я бы так делал. Но я ещё только учусь жить.