Нужно ли уведомлять российское государство о том, что получил немецкое ВНЖ?
Есть ли вообще какие-то обязательные шаги после получения иностранного ВНЖ, чтобы не получить проблем в РФ?

Теоретически, если Вы поехали обратно в РФ, Вам нужно уведомить миграционную службу/МВД о наличии ВНЖ.
Были баталии по поводу данного вопроса, кто-то ломал копья, что "нивжистьнеуведомял, все нормально", кто-то получал за молчание штраф.
Если делать все правильно - да, надо.
Приехали в РФ, пришли на прием в миграционную, подали уведомление о наличии ВНЖ.
Или вариант проще - приехали в РФ, пришли на почту, отправили через почту уведомление, получили отрывной корешок квитанции об отправке и забыли об этом.

Нужно. Нюансы не помню. В следующий раз, когда приедете в РФ, сходить в мфц/овир/паспортный стол (нужное подчеркнуть)

При первом заезде в рф, в течение 30 дней. Можно отправить уведомление в мвд по почте. По идее на почте есть бланки. Планирую это сделать в сентябре

Но если не собираюсь въезжать на территорию РФ в ближайшее время, то не обязательно?

Получается, что так.
Вышла новая поправка на поправку к приказу про приказ и тд, что скоро можно будет уведомить через консульство в Германии.
Но в условиях сокращения консульств РФ думаю, что Вам нет смысла даже напрягаться с этой затеей.

Еще муж декларировал в фнс свой немецкий доход за то время, что он еще был налоговым резидентом рф. За 2022 это до 30 апреля надо было сделать. За 2023 соответственно до 30.04.24

Не обязательно, но можете через консульство. Если вдруг захотите.

Если будете подавать через почту по приезде, нужно с собой иметь заявление, кажется, в трёх экземплярах.

Через консульство нет. Был в Гамбургском, меня там послали с этим уведомлением

Значит пока не работает. Но через консульство необязательно.