Если вам какой-то помогайка рассказал басни про проблемы с регистрацией брака, это не значит, что надо всем это повторять

А где вы увидели слово "проблемы".
Пошёл и получил по живой очереди.
У людей эта бумага указана в списке доков, которые выдаёт муниципалитет, в котором пойдут регистрировать брак.
Спросили про запись и сроки изготовления. Записи не надо - живая очередь. Про сроки не знаю, но судя по отсутствию отзывов формата "мне неделю не могут сделать" - процедура быстрая.

Вы только что рассказывали про справку из другой страны и что это является разрешением

Прочитайте ещё раз.
Гражданам других стран нужна справка об отсутствии брака из своей страны, выше об этом написано. И девушка сама обозначила форму этой справки, и она, как я понимаю, у них есть.
Это не отменяет получения другой бумаги в миграшке.
Спросили про запись и время. Усложняете здесь вы, вводя людей в заблуждение, и рассказывая им не про те бумаги, про которые был вопрос.

Эта справка нужна в муниципалитете, к миграционному офису она никакого отношения не имеет

Муниципалитету нужна бумага из миграшки, сам муниципалитет даёт людям такой список. И люди делают. И в миграшке даже охранник знает это несчастное "wedding license" чтобы людей в живую очередь пропустить 🤷‍♀

Эту бумажку дают гражданину Кипра, сколько можно пургу нести?

По вашей же ссылке: The Cypriot authorities issue a certificate for Cypriot citizens and third country nationals residing in Cyprus.

Но в целом не ясно о чём спор. Гражданство у спрашивающей девушки и её будущего супруга вы не выясняли, чтобы утверждать надо им или нет.

Сертификат это не лицензия