Дальше если вы придете к гинекологу например, велика вероятность что она даст вам свой личный телефон и в случае чего можно будет ей позвонить, так же и с педиатром
По страховке вас быстрее не примут. Да, к сожалению, в гвардии иногда приходится сидеть. Но если случай реально экстренный, то вас примут. Если не приняли срочно, значит необходимости не было, и можно подождать.