Лететь в Аргентину с коротким сроком загран и без российского паспорта - рискованная история.
1. Для получения в миграционном управлении аргентинского ДНИ, для подачи документов в суд на граждаство требуется действующий загранпаспорт с переводом и легализацией. В 2023 году с января по июль единицам удалось получить ДНИ, большинство со временным документом продолжают тут жить. То есть велика вероятность, что сын тут просто не успеет получить аргентинские документы, и ситуация затянется на неопределённый срок.
2. Ситуация в консульстве непростая, запись поймать сложно, и у Вас тоже время только пока действует загран, с недействительным паспортом сделать новый как бы можно, но очень сложно, долго и не факт, что получится.
3. Вы успеете поступить в школу, и после окончания срока действия паспорта никто ребёнка из школы не выгонит. Но например, поступить в университет без ДНИ нельзя, а успеете ли Вы получить ДНИ до окончания срока действия паспорта - это вопрос.
Короче, мне кажется, что проблема больше, чем возможность путешествовать или её отсутствие. Сейчас у вас все те же возможности, чтобы получить паспорт, находясь в Азербайджане, что будут в Аргентине. Но у паспорта ещё срок год и, если что-то пойдёт не так, до России не надо полмира лететь.
Я бы делала паспорт в Азербайджане и без него не летела бы в Аргентину.