По первому вопросу «да»
Не вписывайте в аргентинское СоР, будет Вам прочерк.
По второму вопросу на 100% не скажу, но ни разу не видела, чтобы в иностранное (!) СоР в РФ отца вписали, потому что нет в ЗАГС РФ технической возможности вносить изменения в иностранные документы о рождении.
Только если через суд устанавливать отцовство, получать отдельное св-во об установлении отцовства и подавать на алименты. Но это в РФ. Что этот факт будет значить с точки зрения Аргентинского законодательства - непонятно. Признают там решение российского суда, не признают, как повлияет и т.п.?… Так что это Вам лучше не в чатиках, а с юристом по семейному и международному праву конкретно обсуждать.