То есть, выезжаем по паспорту РФ (условно билеты на него покупаем), а въезжаем по паспорту Аргентины (потому что в паспорте РФ нет шенгенской визы). Такое возможно? Разные паспорта на двух контролях?
Да, вполне. Из РФ по паспорту РФ обязательно, в другую страну - по любому паспорту на Ваш выбор. Но на регистрации в аэропорту (и возможно + РФ пограничники) у Вас будут проверять наличие шенгенских виз. Аргентинский паспорт далеко не убирайте.