Как только у вас будет на руках DNI малыша, можно отправить запрос. Когда примут документы, сразу дадут прекарию. Это и есть уже не туристический легальный статус.
Останется только дождаться DNI. Хотя можно попутно податься на гражданство, ничего не дожидаясь.